( ) Relative ( ) vx v. 2π ω. טרנספורמצית :boost. 2mω. m ω סימון: x b. ההמילטוניאן: = a a כעת. x γ δ α γ ולהפך: אם במערכת O מתקיים = 0. A α.

Transcript

1 קוונטים סמסטר חורף תשס"ו קוונטיזציה של שדה א"מ חופשי טנזורים ויחסות פרטית נסתכל על מערכת ' הנעה במהירות v בכיוון ציר ביחס למערכת. H ω q ω [ q] אוסילטור הרמוני: v v γ ( vt t γ t γ טרנספורמצית :boot ω אופרטור העלאה(/יצירה: ω v הגדרה: η "rdty": ohη γ hη γ ω אופרטור הורדה(/השמדה: ω האינטרוול בין שני מאורעות: ( ( t t r r האינטרוול הינו אינווריאנט תחת טרנספורמציית לורנץ. ω אופרטור מיקום ותנע: ( ( ω סימון: t y z ( t ( t הפעלת אופרטור על מ"ע: נעזרים בהסכם הסכימה של איינשטיין: b b אופרטור ספירת מצב: N N שדה א"מ חופשי באנאלוג לאוסילטור הרמוני קוונטי מנורמל לנפח סופי V b b ω. Λb וקטור קונטרווריאנטי - עם אינדקס עליון ומקיים b ( Rltv H Fld ההמילטוניאן: ω To Vuu b b וקטור קווריאנטי - עם אינדקס תחתון ומקיים. וקטור פוטנציאל שדה חשמלי שדה מגנטי תנע של השדה א"מ: ' b Λb π ωt r ωtr rt ( ( ( ( ( ( g g ' ' כעת Vω π ω ωt r ωtr ε ( r t γ γ ( t g טנזור מטרי: g ; g g ; g δ V π ωt r ωtr ( r t rot ( ( טנזור מדרגה : Vω γδ γδ Rltv F F Λ F ומקיים F δλγ טנזור קונטרווריאנטי- γ δ ( r t ε d r d r To Vuu q π V V V q γ γ δ δ γ ( ω. F Fγδ Λ Λ טנזור קווריאנטי - F ומקיים Fγδ q ω t ( q r ( ω q ω t ( q r ( γ q γ q γ δ γ δ γ. F F F ומקיים F δ ΛΛγ δ טנזור מעורב ( ω q ω t( q r ( ω qω t ( q r γ q γ q γ בעזרת הטנזור המטרי ניתן להחליף אינדקס קווריאנטי בקונטרווריאנטי π g g ולהפך: ε ω V סימון:.{ מצבים עצמיים של Ĥ מוגדרים ע"י{ t t Fld - וואקום מצב היסוד בו אין כלל הפוטונים. אז גם במערכת O תתקיים אם במערכת O מתקיים. אבל לא ההפך כלומר: אותה המשוואה. רץ בין ל- ומציין את הקיטוב של ביחס ל- g g ' ' מכפלה סקלרית: לזכור שמתקיים: תכונות הטנזור המטרי וטרנספורמציות לורנץ:. ω מתקיים קשר הדיספרסיה: g g δ g g γδ g ΛΛ Λ Λ γ Λ Λ δ t טרנספורמציות לורנץ אינפיטיסימליות ω ( t ( ω t כל אופרטור השמדה מלווה ב- כלומר. Λ g ( g Δ ω δ טרנספורמציית לורנץ אינפיטיסימלית: t ( t ( ω t. כלומר ω כל אופרטור יצירה מלווה ב- Δω היא מטריצה המכילה גם את היוצר האינפיטיסימלי וגם כאשר q q את פרמטרי הסיבוב. תכונות אופרטורי השמדה והעלאה: מתקיים Δמכיוון ω Δω שהיא אנטיסימטרית. q δ δ q Δω יש 6 אלמנטים בלתי תלויים: ל- N N אופרטור ספירת המצב/ים:. XT η YT ηy ZT ηz. אלמנטי oot. אלמנטי סיבוב. XY θ YZ θ ZX θ ( אופרטור הספין (קיטוב ליניארי:. J ו- יוצרים בת"ל של טרנס' יש יוצרים בת"ל של סיבובים "טהורים": (. ביחד Jהם K יוצרי "חבורת לורנץ" ומקיימים: לורנץ K ( אופרטור הספין (קיטוב מעגלי: N ( N J J j εjj J K j ε jk K K j ε jj מהווים יוצרים של חבורת הסיבובים. J אזהרה: ( ( ( לזכור שמתקיים: ( J מהווים יוצרים של חבורת לורנץ. K ( ( K לא סוגר שום חבורה כי צירוף של בוסטים משרה סיבוב. ( J הצגה דיפרנציאלית של חבורת היוצרים: ( J J g J g J g J g J σρ σ ρ ρ σ ρ σ σ ρ יחס החילוף:

2 קוונטים סמסטר חורף תשס"ו דוגמא של פליטה ספונטנית π ( ( מצבים התחלתי וסופי: V ;... -פוטנציאל בכיול לורנץ: ω Photo ;... (... -פוטנציאל הנ"ל כתוב בכתיב קווריאנטי כלומר נכון לכל מערכת לורנץ. אלמנט המטריצה הוא: H t ; Ht כל הביטויים כאן הם ביחידות של. ;... r הכוונה ל- -וקטור מרחב-זמן ו- -תנע. בכל מקום בו כתוב בקירוב הדיפול החשמלי ( ובהנחה שמתקיימים כללי הברירה ± אלמנט המטריצה הוא:. דרישת כיול לורנץ: ; ;... -וקטור הקיטוב מקיים: π H t פליטה ספונטנית Vω ; ;... האמילטוניאן של אטום מימן ושדה א"מ: H ;... מתקיים:... ;... H HFld HFld O( π H כלומר: r r t Vω H H to Itrto ונסמן: כמו כן מתקיים:... עובדים בתורת ההפרעות מסדר ראשון לכן מזניחים איברים של. המצבים העצמיים של ההמילטוניאן הלא מופרע מורכבים ממצבים π π עצמיים של אטום המימן עם המצבים העצמיים של השדה הא"מ. לכן קצב המעבר הוא: Γ δ ( ε ω Vω Δ π r r HIt O( ( ( נשתמש בקשר בין אלמנטי מטריצה של תנע ומיקום: Vω Δε Δε r r π Γ HIt δ ε ε ω כלל הזהב של פרמי: ( πδε נקבל שוב את קצב המעבר: Γ Ergy o th to ( r δ ( ε ω V ω Δ Nubr o ' ' d V V קצב המעבר עם פליטת פוטון בכיוון כלשהוא הוא: צפיפות המצבים: d ddω lt d ( π L ( π ( π V ( Δε W dω dγ V dω d W dω dγ קצב המעברים (עבור קיטובים - : ( r δ ( ε ω π ( Δ π ω ( π ( ω d ( ω עובדים בקירוב דיפול חשמלי האומר שמימדי האטום זניחים ביחס לאורך נגדיר "החלפת משתנים" : d נקבל: π r גל הגדול מאוד כלומר λ r r. ( Δε ( ω d ( ω W dω r δ ( ε ω π Δ ( ω ( ε ( ε ε ε W dω dω r π π בגלל פונקציית ה"דלתא" קל לחשב: ( Δε Δε ( Δε ω W d r ε ε Δ ε ω W dω d r לשים לב: r π ( Ω π π Ω פוטונים בהסתברות המעבר יופיע לשים לב: אם בהתחלה היו r r ונניח הוא "סתם" וקטור נבחר מערכת צירים עם ציר ẑ בכיוון בגלל ש- ( r מאונך למישור זה לכן. ( ש- הוא במישור( כעת מתקיים ש- הפקטור לכן: r r θ כמו כן מתקיים. r קשר בין אלמנטי מטריצה של התנע והמקום: ( ( π π Δε ( Δε Δε 8π r [ H ] r W dω r ( θ r dϕ dθ ( θ r r r rtl π π H π π Y ( ε ε r ω r r Y Y Y r r Y נותר לחשב את נזכור ש- r וכן ווקטור קיטוב אחד ניצב במידה ובוחרים כיוון מועדף במרחב כ- נבחר ולכן ע"י חישוב ערכי תוחלת נקבל את ω : r r ( y z לכיוון זה ולכן התוצאה הסופית תהיה: W r π π * * r Y Y 6 R R r dry Y Y dω זמן חיים של מצב התחלתי לסופי הוא נתון ע"י הקשר: τ Ω W 7 π r r dr רוחב הרמה מוגדר כ- והיא קובעת את רמת הדיוק הנדרשת / / 5 π ( τ בקביעת ω של אור נכנס כדי שהפליטה תתרחש. 7 7 ; ( y dω ω 5 z r 5 קצב המעברים ליחידת זווית מרחבית: dw r π ( Δ ε 8π W כלומר קצב המעברים הוא: π

3 קוונטים סמסטר חורף תשס"ו נביע את הפרש האנרגיה ונשתמש בקשרים נוספים: קוונטיזציה שנייה של שדה קומפלקסי עבור משוואת קליין גורדון: Δ ε ; ; ωt r ωtr φ 8 7 ( rt ( b ω V [ V ] W 6 ωtr ωt r 6.6 [ V ] 7 φ ( rt ( b תשובה סופית: ω V 9 9 W.6 τ.6 [ ] W ω ωtr ωt r π ( rt φ ( b V פורמליזם לגרנז' עבור מכניקת הרצף ω ωt r ωtr π ( rt φ ( b V L( y z L( j צפיפות הלגרנזיאן: יחסי החילוף עבור שדה קומפלקסי: j b b b b b b L L :φ ( φ φ משוואות אוילר לגרנז (התנועה עבור t * * φ φ L ( φ ( φ M φ φ צפיפות הלגרנזיאן: L π π( r ( r δ ( r r צפיפות התנע קנוני: Q φ ρd r ( φφ φ φ d r ( bb שימור מטען:( H πφ H L הפיכת צפיפות הלגרנזיאן לצפיפות ההמילטוניאן: ההמילטוניאן: dr ( ππ φ φ Mφ φ ω ( bb לשים לב שכאשר השדה קומפלקסי או מכיל יותר אברי שדה Hπφ L צפיפות ההאמילטוניאן תוגדר: φ φ... φ משוואת דיראק σ ( σ H drπφ σ y מטריצות פאולי: σz L drh ההמילטוניאן: { σ φ φ... φ משפט נטר Nothr הפעלת סימטריה רציפה על אברי השדה σ j} δjι ; σσ j εjσ δjι ; σ σ j εjσ L( L( נותן זרם נשמר K משנה את צפיפות הלגרנזיאן ( ( ( σ ( σ ( Ι σ( j כאשר Δφ הוא השינוי של φ כתוצאה מהסימטריה L θ Ι v ± Δφ K ( ( σ θ θ σ Ι o ( σ ( φ σ odd ± ϕ כך ש- Q j d קבוע בזמן לכל סימטריה רציפה מתאים חוק שימור. הזהות נכונה רק עבור מטריצות פאולי. o( θ תיאור ספינור עבור חלקיק ϕ : ( θ בעל ספין חצי מקוטב בכיוון ϕ משוואת קליין גורדון ( θ ( ערך התצפית של מטריצות פאולי: משוואת קליין גורדון לחלקיק חופשי: φ * * r E t σ ( σ ( θoϕ θϕ oθ φ ( rt פתרונות המשוואה: ε E ± האנרגיות העצמיות: ארבע תנע: * * j ( φφ φ φ צפיפות וזרם ההסתברות: P P מטריצות γ ותכונותיהם: קוונטיזציה שנייה של שדה ממשי עבור משוואת קליין גורדון: I σ σ γ π ( r φ( r' δ ( r r' ; π ( r π ( r' φ( r γ φ( r' I σ σ Tr ( ωt r ω Tr ( γ ; γ ; γ ; P P P tr φ ( rt ( φ φ ω V ( ( γ I { j} δj { } ω ωt r ω γ tr γγγ γ γ γ γ gi π ( rt φ ( V tr ( Odd Nubr o γ Mtr משפטי Tr עבור : γ δ ; יחסי החילוף עבור שדה סקלרי: ' ' ' ' tr ( γ γ γ ρ γ σ ( g g ρσ g ρ g σ g σ g ρ ω ( M ω ω יחס הדיספרסיה: tr( q M gtr( γ γ gg q tri tr P d rπ φ ( γ γ q ( q g q q tr ( γ γ g אופרטור התנע: I σ σ γ ; γ ; :Wyl/Chrl הצגת L ( φ ( φ צפיפות הלגרנזיאן: M φ I σ σ Q d rj שימור המטען: σ σ הצגת γ :Mjor γ σ σ Rltv H dr ( π ( φ M φ ω בהצגת Mjor ההמילטוניאן: To Vuu σ σ אופרטור דיראק γ γ σ σ ( γ ממשי לכן גם כל הפתרונות של משוואת דיראק יהיו ממשיים.

4 קוונטים סמסטר חורף תשס"ו פתרונות בת"ל (מנורמלים של משוואת דיראק עבור חלקיק חופשי: H ההמילטוניאן לפי דירק: ( ( u( v( VE VE t משוואת דיראק לחלקיק חופשי: ( ( γ משוואת דיראק לחלקיק חופשי בכתיב קוואריאנטי: u( v( VE ( ( ( γ Λγ VE אינווריאנטיות של משוואת דיראק: γ Λ ( C D γ ( C D של ספינור: djot. התנע משתנה ל- בנוכחות שדה אלקטרומגנטי חיצוני ( * תכונות הפתרונות הספינורים: uγ u uγ u E E Δω. σ פתרון של משוואת זו עבור הוא Δω u ( u( δ v ( v( δ v ( u( u ( v( Ι σ קטנה ולכן בפיתוח לטור: Δω u ( v( v ( u( Δω היא מטריצה המכילה את היוצרים האינפיניטיסימלים ופרמטרי u( u( δ הסיבוב ולכן אנטי סימטרית. v( v( δ v( u( u( v( σ γ γ σ היא מטריצה המוגדרת ע"י יחס הקומטציה ( u( u( (. σ ומקיימת σ ( v( v( (. ( Λ γ ( Λ γ Λ ( אינה יוניטרית אבל j j ( ( γ ( הגדרת -זרם: u( ub( v( vb( b קיבלנו פירוש הסתברותי רגיל כמו בשרידנגר לצפיפות וזרם ההסתברות. b פתרונות ספינורים כלליים של משוואת דיראק בעל ספין U לא בכיוון : ẑ הערה: b מציינים אינדקסים. ϕ σ Λ E E χ Λ אופרטורי הטלה: u σ v E ϕ Λ E χ u( u( Λ v( Λ עם הע"ע החיובי. u( Λ v( v( σ - הם הו"ע של הספין בכיוון התנועה χ ϕ ± Λ ρ ± Λ± Λ Λ Λ Λ Λ Λ I E j ( : u -זרם עבור Σ σ הפתרונות הספינורים (בכיוון ( ẑ הבת"ל של משוואת דיראק עבור חלקיק Hlty אופרטור הספין (בורגיות: * σ : E ± ± y עם אנרגיה ותנע קבועים הערה: מצב עם בורגיות חיובית הינו מצב בעל קיטוב ספין בכיוון התנועה. ± Σ θ θ I ( o ± Σ אופרטור הסיבוב (פסיבי ואקטיבי: ( U E z θ Σ u( ( E. סביב R ( טרנספורמציית סיבוב אקטיבית: θ E Potv u Ψ Ψ האופרטורים לא משתנים אולם יתכן שנקבל ערכי תצפית Ψ E Ergy & שונים. נקבל אותם ערכי תצפית כאשר יש סימטריה בבעיה. הפיסיקה משתנה. θ Motu Σ. סביב R ( טרנספורמציית סיבוב פסיבית: θ P E> T Ortor ערכי תצפית נשארים אותו דבר. uptup Ψ Ψ upψ ( & E z u( כדי לסובב וקטור מ- ẑ ל- יש לסובב בזווית θסביב ציר סיבוב T. ( E E z z 5 אופרטור הכיראליות :(Chrlty λ γ γ γ γ γ λ λ E Dow היטל הספין באופן כללי לא נשמר רק אם ההיטל של הספין בכיוון התנועה z Rght Polrzto. λ E כלומר וערכיו העצמיים Lt Polrzto ( U E v( אם אז Σ Hlty וספין נשמר. ( E E קוונטיזציה שנייה של משוואת דיראק: Ngtv Ergy & ( b ( u ( d ( v ( VE Motu E< E ( b ( u ( d ( v ( ( ( VE ( & E z v( ( ( { } ( ( ( b δbδ ( E E ( ( הוא סקלר לורנץ. Dow γ הוא -וקטור כלומר טנזור מסדר ראשון. ( (

5 5 קוונטים סמסטר חורף תשס"ו פיזורים ודיאגראמות פיינמן { b( b ( } δ δ לשים לב! כל הביטויים כאן הם ביחידות של. יחסי החילוף אנטיקומוטציה: { d( d ( } δ הכוונה ל- -וקטור מרחב-זמן ו- -תנע. לשים לב! בכל מקום בו כתוב δ ( rt { b( d ( } { d( b ( פוטנציאל של שדה חיצוני נתון (קלאסי: } ( VI t d rji ( r t ( r t : t פוט' האינטראקציה בין חומר לשדה בזמן L ( ( γ ( צפיפות הלגרנזיאן: -זרם האינטרקציה כאשר את המטען הוצאנו החוצה: j γ ( : γ אמפליטודת הפיזור המוכללת: משוואות אויילר לגראנז: ( : ( ( ( ( ( d ( ( H E ( ( ( ( (... d T j... j! b b d d ההמילטוניאן: ( הגדרת ה- -זרם: j γ חוק השימור שמתקבל: אמפליטודת הפיזור המוכללת לאחר הצבת -זרם:! Q drn( ( ( ( ( ( ( ( d d b b ( ( ( ( ( ( ( d... d T γ... γ תורת ההפרעות התלויה בזמן H הוא ההאמילטוניאן הלא מופרע. H H כאשר נתון ההאמילטוניאן V ( b ( u ( d ( v ( H וב- t המערכת כאשרב- t המערכת נמצאת במצב של VE H בתמונת שרדינגר (ביחידות של ( נקבל: לאלקטרונים ופוזיטרונים: נמצאת במצב של ( b ( u ( d ( v ( H ot. ( כאשר ( ( t H V( t ( t t VE t N( H : : סידור נורמלי עבור שדה סקלרי :(KG ot ( ( Hot ( Hot q q q I t t OI t O( תמונת האינטרקציה: t φ ( φ ( y > y φ( φ( y :(KG צמצום עבור שדה סקלרי I ( t VI ( t משוואת שרדינגר לפי תמונת האינטרקציה: I ( t t φ ( y φ ( y > וקטור המצב מתפתח רק מאינטראקציה נכבה אותו והוא לא יתפתח.. φ. VI ( t VI ( t [ V אז H] אם φ כאשר EV EV I ( t U( t t I ( t :U( t t אופרטור האבולוציה φ( φ( y > y T ( φ( φ( y :KG אופרטור הכרונולוגיה עבור tu( t t VI ( t U( t t φ( y φ( y > הצבה במשוואת האינטרקציה: Dd : U( t t משפט W לשדה סקלרי :(KG t T( φφφ N( φφφ ll obl otrto U( t t dtv I ( t U( t t סדר : סדר : פרופוגטור פיינמן עבור חלקיקים סקלרים: t ( y t t t d U( t t dtv I ( t ( dt dt VI ( t VI ( t F ( y φ( φ( y C# ε סדר : ( π ε t t t π ωt r VI ( t VI ( t t > t ωtr ( T VI פוט' א"מ בקולון: ( t VI ( t אופרטור הכרונולוגיה: Vω VI ( t VI ( t t > t t ו- t כלומר: בדר"כ מסתכלים על מערכת בה ( ( * * T ( π פוטון יוצא:( ( V M M U dtv I ( t ( dt dt VI ( t VI ( t... M ( ( π משוואת האבולוציה המוכללת: T ( פוטון נכנס: ( V M M ( U dt... dtt ( VI ( t... VI ( t פרופוגטור פוטוני הצורה הכללית: D D g F! ( ( ( M לשים לב! פרופוגטור פיינמן פרמיוני הוא טנזור דרגה שנייה לא סקלר. כאשר צריך להתקיים M על מנת שקירוב זה יהיה נכון. לשים לב! פרופגטור פוטוני תמיד נמצא בין שני זרמים כלומר: E ( γ ( D ( l ( γ (. אל המצב הסופי היא אמפליטודת המעבר ממצב התחלתי j j לשים לב! הביטוי הנ"ל הוא ביחידות של. D נמצא תמיד בין שני זרמים האיבר F ( יתאפס בגלל ש- טור בורן עבור פתרון סטציונרי של בעיית פיזור: r r r d rg r r V r ומכיוון שמתקיים j j (משפט הרציפות נותן חופש כיול. : F( ( ( ( ( ( dr drgr ( r V( r Gr ( r V( r ( r... V ( r הוא הפוטנציאל המפזר ( - המצב ההתחלתי. r r - G r פונקציית גרין במימד המתאים המקיים את המשוואה: ( G( δ ( כאשר ( אינטרפרטציה של טור בורן: סיכום של התרומות מהפיזורים עם מס' פיזורים שונה כאשר סדר האיבר מספר הפיזורים. פרופוגטור פיינמן הפוטוני במרחב התנע עבור π g F( D ( F( T ( ( ( D ( η η סידור נורמלי עבור שדה דיראק: N bb b : bb b : b bb b b b ( ( ( ( לשים לב! החזקה של היא פונקציה של פרמוטציה אם מספר ההחלפות הוא זוגי אז החזקה זוגית ואם אי זוגי החזקה אי זוגית.

6 6 קוונטים סמסטר חורף תשס"ו ( צמצום Cotrto עבור שדה דיראק: ( { ( b( y } or y > ( ( ( ( ( ( d d γ K γ ( b( y K ( b y { b( y ( } or < y ( b ( ( ( ( ( ( (. ( לשים לב! עבור המקרה ההפוך y b( y Kb( d γ d γ לשים לב! המקדם ( ( נובע מיחסי האנטיקומוטציה. איבר זה קבוע ותורם רק פאזה מכיוון שבכל סדר נקבל את אופרטור הכרונולוגיה עבור שדה דיראק: הדיאגרמה הימנית רק בתוספת עוד כאלו מעגלים ובחישוב חתך הפעולה הוא לא יבוא לידי ביטוי דיאגרמתית ניתן לתאר: ( ( y > y T( ( ( y Vuu Dgr ( y ( y > משפט W לשדה דיראק: ( T( N( ll obl otrto ( (.. לשים לב לפרמוטציות על מנת לקבוע מקדם חיובי או שלילי של כל צמצום. K ( פרופוגטור פיינמן עבור שדה דיראק: ' ( ( ( d ( K ( T ( ( ( ' η ( ( π η כאשר היא מטריצת פיזור ערכו המוחלט של לא מתאר משהו d ( ( K( ( ( ( ( ( π E Θ Θ פיזיקלי מכיוון שהוא שווה ליחידה. I היא יוניטרית. דיאגרמה (b אינה מעניינת מכיוון שהיא רק סדר ראשון עם פאזה. K ( התמרת הפוריה של פרופגטור פיינמן: η η דיאגראמת פיינמן כל ציור מחליף ביטוי מתמטי התוצאה הסופית היא מכפלת פיזור פוזיטרון על פוטנציאל של שדה א"מ נתון (קלאסי בסדר ראשון. כל הביטויים המתמטיים כאשר הכתיבה היא מהסוף להתחלה אינטגרלים. מתחילים מהמצב d ( ומסיימים במצב d ( אמפליטודת המעבר ממצב התחלתי לסופי:. בנקודה γ מציין את הביטוי Vrt -. ( ( (. -פוטנציאל קלאסי -. ( v( ( γ v( d ( V EE Vrt F ( ( V ( Â פוטון יוצא/נכנס. ( -פוטנציאל מקוונטת -. הפקטור ( ( נובע מיחסי אנטיקומוטציה בין אופרטורי השמדה ויצירה. פרופגטור אלקטרוני. K (. φ ( v( φ ( EV דיאגרמתית:. D ( פרופגטור פוטוני.5 φ ( φ( v( EV פיזור אלקטרון על פוטנציאל של שדה א"מ נתון (קלאסי בסדר ראשון. יצור זוגות ע"י פוטנציאל של שדה א"מ נתון (קלאסי בסדר ראשון. b ( b ( ומסיימים במצב מתחילים מהמצב b ( d ( מתחילים מהמצב ומסיימים במצב אמפליטודת המעבר ממצב התחלתי לסופי: אמפליטודת המעבר ממצב התחלתי לסופי: ( u( ( ( ( EV u( ( γ v( d ( V EE דיאגרמתית: ( φ ( ( ( u( EV דיאגרמתית: זהו קירוב בורן אבל יותר מסובך. פיזור אלקטרון על פוטנציאל של שדה א"מ נתון (קלאסי בסדר השני. אפקט קומפטון - הכל קוונטי גם חומר וגם שדה קרינה. b ( כאשר מדובר בחלקיקים אמיתיים אז מתקיים תמיד עבור פוטונים b ( ומסיימים במצב מתחילים מהמצב. ועבור אלקטרונים/פוזיטרונים אמפליטודת המעבר ממצב התחלתי לסופי: b ( ( ( ( נסתכל תחילה על אלמנט המטריצה: (( סדר ראשון: הפיזור היחידי שאפשרי הוא מצב התחלתי - λ מציין את קיטוב הפוטון. b ( ( λ ומצב סופי bt ( γ γ b b γ γ b אלמנט המטריצה לא יתאפס אבל משימור -תנע נקבל b γ γ b b γ γ b b γ γ b ( כלומר. מסקנה: סדר ראשון בפיזור קומפטון לא מעניין. זוג אברים הראשונים והשניים נבדלים ע"י ההחלפה γ γ סדר שני: מצב התחלתי b ומצב סופי. b הפקטור חצי בביטוי של מצטמצם ונצייר רק שני דיאגראמות: T אין כיווץ ( ( ( ( בחישוב אלמנט המטריצה ( כלומר אותו בין אופרטורי השדה מכיוון שאז יהיה כיווץ בין (b ( פוטון שנכנס חייב להיות זהה לזה שיוצא תהליך שההסתברות שלו ( K ( כמעט אחד כלומר תהליך לא מעניין. ( (

7 7 קוונטים סמסטר חורף תשס"ו אמפליטודת האינווריאנטיות: * * ( * דיאגרמתית: M u u ( ( * ( עבור סדר שני בפיזור קומפטון: K ( K ( * * * * M u u u u ( ( ( ( dσ Vd ( Vωdω π π δ( V ( ( b ( M dω ( d d ( γ K( ( π ( π V EE ωω V dσ ω אמפליטודת הפיזור: ω * * M γ ( ( ( ( ( ω לאחר עיבוד נתונים: dω ω ( o ω θ ( ( b תהליכים ודיאגראמות נוספות במרחב התנע ( התוצאה עבור אלקטרון המתחיל במנוחה במע' מעבדה ( π δ ( פיזור אלקטרון-אלקטרון: dσ ω ω ω V EE EE עבור חלקיקים לא מקוטבים: θ M Drt Dgr d ω ω ω Ehg Dgr Ω π g u γ u u γ u 8π ( η σ Totl עבור המקרה הלא רלטוויסטי : ω ω ω π g u γ u u γ u ( η דוגמאות חשובות חתך פעולה של אלקטרון על פוט' נתון מסדר ראשון ושני: החלפה בין קווים פרמיונים נותן מינוס. ( ( π δ ( d ( γ ( ( פיזור פוזיטרון-אלקטרון: V EE EE ( ( d ( ( ( ( ( d γ K γ ' π g u γ u v γ v ( η π g E vγ u v γ u רמות האנרגיה של אטום המימן:... E ( η E.6 V ( π קבועים: אניהליציה: V EE ωω r.5 7 ( π δ ( v( * * * * ( (* באטומים דמויי מימן מחליפים z u( טריקים מתמטים I Out I Out Crog : oto ; hlto ; ( E ( ytry E E E T δ π δ מעבר מאמפליטודת מעבר לחתך פעולה בכל אמפליטודת מעבר מופיע האיבר -דלתא הנותן שימור -תנע כאשר מעלים את פונקציית הדלתא בריבוע נקבל כאשר T הוא הזמן בין המצב הסופי ( π δ ( ( π δ ( dw dr T VT T Vd π ( d d dω de dω d ליחידת זמן: T להתחלתי: קצב המעברים ליחידת זמן: מספר המעברים לתוך מעבר לזווית מרחבית dr dσ חתך הפעולה הדיפרנציאלי: j חתך הפעולה הדיפ' (ליח' זוית מרחבית עבור פוטונים שפוגעים בחלקיק: dσ V V dw d Idt Flu d j dω π π j. V ( ( - מהירות החלקיקים הפוגעים כפול צפיפותם - j low v or hoto v V VE

8 8 קוונטים סמסטר חורף תשס"ו נספח מתמטי r r ( d Trgootr Idtt : תזכורת מקוונטים : V ( המעבר מסכום במרחב התנע לאינטגרל: ( d ( t( t /( t ( π o( o ( t( t ( ( t dt π / אינטגרלים שימושים: o( o o (9 o r ( / / o( / / r( r π o(9 dr ( / / o( / / t(9 ot o o o( / / o( / / ot(9 t o o ( / / ( / / π ( d d (8 o / ( ( ( o(8 o / ( o( o( t t(8 t Γ ( פונקצית גאמא מוכללת עבור > כלשהו: t dt o o / ( o( o( o ( o o 5... ( t / o ( o o Γ (! Γ π ot / o( o o ( o o( o o l האקספוננט:! o( o t( (t t /( t t L o( o t( (t t /( t t l L ( ( l ( ( L סכומי טורים: o( t( t t t( t t l ( r ro π / t / ( t ( q q q פונקציות ספריות הרמוניות: q l Y l ( π θ π ϕ ( Yl ( θ ϕ Yl ( π ϕ θ ( Yl ( θ ϕ δ ( ( ( התמרת פונקצית דלתא ותכונותיה: d π ± ϕ Y Y o ( θ Y ± ( θ π π 8π δ g ( ( ( ( ( ( g( ( δ δ δ δ g'( δ * l Y g'( l ( θϕ ( Yl ( θϕ Yl ( π θϕ ( Yl ( θϕ * < dθ( ll ' ' Yl ( θϕ Yl ' ' ( θϕ dω δ ' δll ' Θ( δ ( d δ ( > d π Y Y Y Y r ( rθo ϕ rθ ϕ roθ r Y ω F ( ω ( d הגדרת התמרת פורייה: π הזווית בין שני וקטורים כלשהם: ϕϕ oγ oθoθ θ θo( פונקציה התמרת פונקציה התמרת l פורייה פורייה Yl ( θϕ Pl ( oθ תכונות פולינומי לז'נדר: π ( ω b ωb ω ( ( b F > π ω r l Pl( Pl ( d δl l Pl( d Jl( r R l( r Jl( r l π ω ε g ( ( F( ω jε δδ j δδ j ( ε > j j טנסור לוי צ'יויטה: ε πω jεj δ ( ( ( ( זהויות וקטוריות: ( ( ω F( ω ( π ω ( ( ( ω d r r r r rr o( ( F ( ω זהויות מעולם המרוכבות: π dω ( h ( o( oh ( עבור זוגית ו- אי זוגי: ( π d d d F dω ω ( ω ( ( ( ω ( פונקציות וערכי תצפית רדיאלים: (באטומים דמויי מימן מחליפים z r z R / l l r r r z R l l / ( ( r l r r z R / l l ( r l ( l ( l l r l l ( l l r l 5 l ( l z z

9 9 קוונטים סמסטר חורף תשס"ו לשים לב! ספינור שמתאים לחלקיק הנכנס תמיד מופיע עם הפקטור.